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Uma introdução à teoria das filas

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Teoria das filas é o estudo matemático de filas ou espera nas filas. Filas contêm clientes (ou "itens"), como pessoas, objetos ou informações. As filas se formam quando há recursos limitados para fornecer um serviço. Por exemplo, se houver 5 caixas registradoras em uma mercearia, as filas serão formadas se mais de 5 clientes desejarem pagar por seus itens ao mesmo tempo.

Um basico sistema de filas consiste em um processo de chegada (como os clientes chegam à fila, quantos clientes estão presentes no total), a própria fila, o processo de serviço para atender a esses clientes e as saídas do sistema.

Matemático modelos de filas são frequentemente usados ​​em software e negócios para determinar a melhor maneira de usar recursos limitados. Os modelos de enfileiramento podem responder a perguntas como: Qual é a probabilidade de um cliente esperar 10 minutos na fila? Qual é o tempo médio de espera por cliente?

As situações a seguir são exemplos de como a teoria de filas pode ser aplicada:

  • Esperando na fila de um banco ou loja
  • Aguardando que um representante do atendimento ao cliente atenda uma chamada depois que a chamada foi colocada em espera
  • À espera de um trem chegar
  • Aguardando que um computador execute uma tarefa ou responda
  • Esperando por uma lavagem automática de carros para limpar uma linha de carros

Caracterizando um sistema de enfileiramento

Os modelos de enfileiramento analisam como os clientes (incluindo pessoas, objetos e informações) recebem um serviço. Um sistema de filas contém:

  • Processo de chegada. O processo de chegada é simplesmente como os clientes chegam. Eles podem entrar em uma fila sozinhos ou em grupos e podem chegar a determinados intervalos ou aleatoriamente.
  • Comportamento. Como os clientes se comportam quando estão alinhados? Alguns podem estar dispostos a esperar por seu lugar na fila; outros podem ficar impacientes e partir. No entanto, outros podem decidir voltar à fila mais tarde, como quando são colocados em espera no serviço ao cliente e decidem ligar novamente na esperança de receber um serviço mais rápido.
  • Como os clientes são atendidos. Isso inclui o período de tempo em que um cliente é atendido, o número de servidores disponíveis para ajudá-los, sejam atendidos um por um ou em lotes, e a ordem em que os clientes são atendidos, também chamado disciplina de serviço.
  • Disciplina de serviço refere-se à regra pela qual o próximo cliente é selecionado. Embora muitos cenários de varejo utilizem a regra “primeiro a chegar, primeiro a ser servido”, outras situações podem exigir outros tipos de serviço. Por exemplo, os clientes podem ser atendidos em ordem de prioridade ou com base no número de itens que precisam de manutenção (como em uma faixa expressa em um supermercado). Às vezes, o último cliente a chegar será servido primeiro (como no caso de uma pilha de louça suja, onde o em cima será o primeiro a ser lavado).
  • Sala de espera. O número de clientes que podem esperar na fila pode ser limitado com base no espaço disponível.

Matemática da Teoria das Filas

Notação de Kendall é uma notação abreviada que especifica os parâmetros de um modelo de enfileiramento básico. A notação de Kendall é escrita no formato A / S / c / B / N / D, onde cada uma das letras representa parâmetros diferentes.

  • O termo A descreve quando os clientes chegam à fila - em particular, o tempo entre as chegadas ou tempos de chegada. Matematicamente, este parâmetro especifica a distribuição de probabilidade que os tempos entre chegadas seguem. Uma distribuição de probabilidade comum usada para o termo A é a distribuição de Poisson.
  • O termo S descreve quanto tempo leva para que um cliente seja atendido depois que sai da fila. Matematicamente, este parâmetro especifica a distribuição de probabilidade que esses tempos de serviço Segue. A distribuição de Poisson também é comumente usada para o termo S.
  • O termo c especifica o número de servidores no sistema de filas. O modelo assume que todos os servidores no sistema são idênticos, portanto, todos podem ser descritos pelo termo S acima.
  • O termo B especifica o número total de itens que podem estar no sistema e inclui itens que ainda estão na fila e aqueles que estão sendo atendidos. Embora muitos sistemas no mundo real tenham uma capacidade limitada, o modelo é mais fácil de analisar se essa capacidade é considerada infinita. Conseqüentemente, se a capacidade de um sistema for grande o suficiente, geralmente é assumido que o sistema é infinito.
  • O termo N especifica o número total de clientes em potencial - ou seja, o número de clientes que poderiam entrar no sistema de filas - que pode ser considerado finito ou infinito.
  • O termo D especifica a disciplina de serviço do sistema de filas, como primeiro a chegar, primeiro a ser servido ou o último a entrar, primeiro a sair.

Lei de Little, que foi comprovado pela primeira vez pelo matemático John Little, afirma que o número médio de itens em uma fila pode ser calculado multiplicando a taxa média em que os itens chegam ao sistema pela quantidade média de tempo que passam nele.

  • Em notação matemática, a lei de Little é: L = λW
  • L é o número médio de itens, λ é a taxa média de chegada dos itens no sistema de filas e W é a quantidade média de tempo que os itens passam no sistema de filas.
  • A lei de Little pressupõe que o sistema esteja em um "estado estacionário" - as variáveis ​​matemáticas que caracterizam o sistema não mudam ao longo do tempo.

Embora a lei de Little precise apenas de três entradas, ela é bastante geral e pode ser aplicada a muitos sistemas de filas, independentemente dos tipos de itens na fila ou da maneira como os itens são processados ​​na fila. A lei de Little pode ser útil para analisar o desempenho de uma fila durante algum tempo ou para avaliar rapidamente o desempenho de uma fila.

Por exemplo: uma empresa de caixas de sapatos deseja descobrir o número médio de caixas de sapatos armazenadas em um armazém. A empresa sabe que a taxa média de chegada das caixas ao armazém é de 1.000 caixas de sapatos / ano e que o tempo médio gasto no armazém é de cerca de 3 meses ou ¼ de um ano. Assim, o número médio de caixas de sapatos no armazém é dado por (1000 caixas de sapatos / ano) x (¼ ano) ou 250 caixas de sapatos.

Principais Takeaways

  • A teoria das filas é o estudo matemático das filas ou espera nas filas.
  • As filas contêm "clientes", como pessoas, objetos ou informações. As filas são formadas quando há recursos limitados para a prestação de um serviço.
  • A teoria das filas pode ser aplicada a situações que variam de esperar na fila do supermercado até esperar que um computador execute uma tarefa. É frequentemente usado em software e aplicativos de negócios para determinar a melhor maneira de usar recursos limitados.
  • A notação de Kendall pode ser usada para especificar os parâmetros de um sistema de filas.
  • A lei de Little é uma expressão simples, mas geral, que pode fornecer uma estimativa rápida do número médio de itens em uma fila.

Fontes

  • Beasley, J. E. "Teoria das filas".
  • Boxma, O. J. "Modelagem de desempenho estocástico". 2008.
  • Lilja, D. Medindo o desempenho do computador: Guia do profissional, 2005.
  • Little, J. e Graves, S. "Capítulo 5: A lei de Little". Criando intuição: percepções de modelos e princípios básicos de gerenciamento de operações. Springer Science + Business Media, 2008.
  • Mulholland, B. “A lei de Little: como analisar seus processos (com bombardeiros furtivos).” Process.st, 2017.


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